Введение Ссылка на заголовок

Будем рассматривать уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$$

Здесь $a, b$ и $c$ - коэффициенты, $x$ - переменная. Мы предполагаем, что $a \neq 0$, чтобы наше уравнение не переставало быть квадратным. Если же $a = 0$, то уравнение вырождается в линейное.

Вывод формулы корней Ссылка на заголовок

Разделим обе части уравнения на $a$: $$ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0 $$

Теперь попробуем выделить полный квадрат. Для этого вначале представим равенство в виде:

$$ x^2 + 2\cdot\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{c}{a} = 0 $$

По основному свойству дроби это верно. Мы хотим применить формулу сокращенного умножения:

$$ p^2 + 2pq + q^2 = (p + q)^2 $$

Добавим и вычтем слагаемое $\dfrac{b^2}{4a^2}$

$$ x^2 + 2\cdot\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0 $$

Теперь к первым трем слагаемым мы можем применить формулу сокращенного умножения, а последние два приведем к общему знаменателю

$$ (x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 $$

Теперь прибавим к обоим частям уравнения второе слагаемое, и извлечем корень из обоих частей равенства

$$ x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Отсюда не трудно получить формулы для двух корней квадратного уравнения

$$ x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$